最小匹配覆盖图中小度相邻顶点
组合数学
2026-04-02 v1
摘要
一个具有至少两个顶点的连通图 是匹配覆盖的，当且仅当其每条边都位于某个完美匹配中。一个匹配覆盖图是最小的，当且仅当删除任意一条边都会导致该图不再匹配覆盖。一条边称为 -线，当且仅当其两个端点的度数均为 。Lov\'asz 和 Plummer [J. Combin. Theory, Ser. B 23 (1977) 127--138] 通过耳分解证明了：不同于 的最小匹配覆盖二部图的最小度数为 2，且至少包含 条 2-线。He 等人 [J. Graph Theory 111 (2026) 5--16] 证明了：不同于 的最小匹配覆盖图的最小度数为 2 或 3。在本文中，我们证明了：每个至少有 4 个顶点的最小匹配覆盖图至少包含两条不相邻的边，每条边要么是 2-线，要么是 3-线。由此，我们证明了：每个至少有 4 个顶点且最小度数为 3 的最小匹配覆盖图至少包含 4 个度数为 3 的顶点。此外，3-线的数量和三次顶点的数量的下界都是紧的。
引用
@article{arxiv.2604.00361,
title = {Adjacent vertices of small degree in minimal matching covered graphs},
author = {Xiaoling He and Fuliang Lu and Heping Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.00361},
year = {2026}
}