极小 k-因子临界无爪图的最小度

对于整数 $1\leq k< n$，若删去任意 $k$ 个顶点后得到的图具有完美匹配，则称 $n$ 阶图 $G$ 是 $k$-因子临界的。若对每条边，删去该边后得到的图不再是 $k$-因子临界的，则称 $k$-因子临界图是极小的。1998 年，O. Favaron 和 M. Shi 猜想每个极小 $k$-因子临界图的最小度均为 $k+1$。在本文中，我们证实了该猜想对极小 $k$-因子临界无爪图成立。此外，我们证明在 $(k+1)$-连通的情形下，每个极小 $k$-因子临界无爪图 $G$ 至少有 $\frac{k-1}{2k}|V(G)|$ 个度为 $k+1$ 的顶点，这为 S. Norine 和 R. Thomas 关于 $k=2$ 时极小砖的最小度猜想提供了进一步证据。