关于最小 $k$-$\{1,2\}$-因子临界 $k$-平面图的最小度数

若图的阶为 $n$，则称其为 $k$-因子临界图 $(0\le k<n)$，若删除任意 $k$ 个顶点后剩余图存在完美匹配。若 $k$-因子临界图 $G$ 满足 $G-e$ 不是 $k$-因子临界，则称 $G$ 为最小 $k$-因子临界图。1998 年，Favaron 和 Shi 提出猜想：每个最小 $k$-因子临界图的最小度数为 $k+1$。这种概念的自然推广源于 $\{1,2\}$-因子。若图的 Spanning 子图中每个组件的度为 1 或 2，则称为 $\{1,2\}$-因子。若删除任意 $k$ 个顶点后剩余图存在 $\{1,2\}$-因子，则称图为 $k$-$\{1,2\}$-因子临界图。近期猜想指出：每个最小 $k$-$\{1,2\}$-因子临界图 $G$ 满足 $k+1\le \delta(G)\le k+2$。本文证明该猜想对 $k$-平面图成立，即删除任意 $k$ 个顶点后剩余图为平面图的图。特别地，这解决了平面图的猜想。