极小 $t$-坚韧图的最小度

图 $G$ 是极小 $t$-坚韧的，若 $G$ 的坚韧度为 $t$ 且删除 $G$ 中任意一条边会降低其坚韧度。Katona 等人猜想任意极小 $t$-坚韧图的最小度为 $\lceil 2t\rceil$，并给出了极小 $t$-坚韧图最小度的若干上界。本文中，我们证明围长 $g\geq 5$ 的极小 1-坚韧图 $G$ 的最小度至多为 $\lfloor\frac{n}{g+1}\rfloor+g-1$，而围长为 $4$ 的极小 $1$-坚韧图的最小度至多为 $\frac{n+6}{4}$。我们还证明了极小 $\frac{3}2$-坚韧无爪图的最小度为 $3$。