关于高围长图的警察数

我们根据最小度，更一般地根据某一增长条件，建立了高围长图警察数的下界。我们特别证明，任何围长为 $g$、最小度为 $\delta$ 的图的警察数至少为 $\tfrac{1}{g}(\delta - 1)^{\lfloor \frac{g-1}{4}\rfloor}$。我们对有向图建立了类似结果。虽然揭示了多个令人猜想该下界中指数 $\tfrac{1}{4}g$ 不能被改进为 $(\tfrac{1}{4}+\varepsilon)g$ 的理由，我们也能够证明它不能被提高到超过 $\frac{3}{8}g$。这是通过考虑某类拉马努金图确立的。在该界证明中，我们还证明了“弱”梅尼埃尔猜想对有界度扩张图族成立。