扩张图满足弱 Meyniel 猜想

我们证明，若 $\{G_n\}_{n\geq 1}$ 是阶为 $n$ 的图序列，其最大度有界且等周函数 $\Phi(G_n,n^{1-\alpha})$ 当 $n\rightarrow \infty$ 时远离 $0$，则 $G_n$ 的警察数至多为 $O(n^{\frac{1+\alpha}{2}+o(1)})$。在最大度有界的假设下，该界是否紧尚不清楚。尽管如此，Hosseini、Mohar 与 Gonzalez Hermosillo de la Maza 近期的工作强烈推动了有界度情形的考量，因为他们证明了若有界最大度图的警察数为 $O(n^{1-\epsilon})$，则也能证明所有图的警察数对某些 $\alpha>0$ 为 $O(n^{1-\alpha})$。这将解决 Meyniel 一个著名猜想的弱版本。接下来，我们证明若弱版本 Meyniel 猜想不成立，则某些反直觉图必然存在且具有大警察数。最后我们猜想任何此类反直觉图必为扩张图，并因此由我们所证上界知不具有大警察数。故我们的猜想将蕴含 Meyniel 猜想的一个弱版本。