警察与小偷游戏的变体

我们考虑经典警察与小偷游戏的几个变体。我们处理小偷可以一次移动 $R > 1$ 条边的版本，建立了一个一般上界 $N / \alpha ^{(1-o(1))\sqrt{\log_\alpha N}}$，其中 $\alpha = 1 + 1/R$，从而推广了 Lu 和 Peng 对经典情形 $R = 1$ 的最佳已知上界。我们还表明，在此情形下，对于有限的 $R$，$N$ 顶点图的警察数可以达到 $N^{1 - 1/(R-2)}$，但如果 $R$ 是无穷大，则与 $N$ 成线性关系。对于 $R = 1$，我们研究该问题的有向图版本，并证明任何 $N$ 个顶点的强连通有向图的警察数至多为 $O(N(\log \log N)^2/\log N)$。我们的方法基于扩张性。