图上进行的懒惰警察与强盗游戏

我们考虑警察与强盗游戏的一个变体，称为懒惰警察与强盗 (Lazy Cops and Robbers)，其中每回合最多只能有一名警察移动。我们研究了该游戏的警察数类比，称之为懒惰警察数。懒惰警察与强盗游戏最近由 Offner 和 Ojakian 引入，他们提供了超立方体懒惰警察数的渐近上下界。通过研究扩张性质，我们为宽范围 p=p(n) 的二项式随机图 $\mathcal{G}(n,p)$ 的懒惰警察数提供了几乎必然的渐近界。通过将概率方法与势函数论证相结合，我们还改进了超立方体懒惰警察数的现有下界。最后，利用 Gilbert-Hutchinson-Tarjan 分隔定理，我们给出了亏格为 g 的图的懒惰警察数的上界。