关于多盗贼破坏数

我们研究图上的警察与盗贼博弈的一个变体,其中盗贼破坏所访问的顶点,旨在最大化被破坏顶点的数量。对于该博弈中一名警察对抗 $s$ 名盗贼的情形,Carlson、Halloran 与 Reinhart 提出了一个猜想:只要基图的最大度至少为 $\binom{s}{2} + 2$,警察就能保全三个顶点不被破坏。我们验证了该猜想,并证明在附加基图无三角形假设时猜想是紧的。我们也研究了无此假设的博弈,推翻了一般情形下的猜想,并进一步试图确定能保证警察对抗 $s$ 名盗贼可保全三个顶点的基图最小最大度。我们证明该数介于 $2\binom{s}{2} - 3$ 与 $2\binom{s}{2} + 1$ 之间。此外,在先前已研究一名警察多盗贼以及一名盗贼多警察的博弈之后,我们开启了两名警察与两名盗贼博弈的研究。当基图为圈图时,我们确定了被破坏顶点的确切数量。另外,当基图为路径时,我们给出了相差一个加性常数的界。