$P_5$-自由图子类的警察与强盗游戏

警察与强盗游戏是在连通图上由一队警察与一名强盗进行的基于回合的顶点追捕游戏。警察和强盗沿着图的边交替移动。若一名警察与强盗处于图的同一顶点，则称警察队赢得游戏。在图的每个连通分支中获胜所需的最少警察数称为图的警察数。Sivaraman [Discrete Math. 342(2019), pp. 2306-2307] 猜想：对每个 $t\geq 5$，连通 $P_t$-自由图的警察数至多为 $t-3$，其中 $P_t$ 表示含 $t$ 个顶点的路。Turcotte [Discrete Math. 345 (2022), pp. 112660] 证明了任意 $2K_2$-自由图的警察数至多为 $2$，这早先由 Sivaraman 和 Testa 猜想。注意，若连通图是 $2K_2$-自由的，则它也是 $P_5$-自由的。Liu 证明了连通 ($P_t$, $H$)-自由图的警察数至多为 $t-3$，其中 $H$ 是长度不超过 $t$ 的圈或爪。因此 Sivaraman 的猜想对 ($P_5$, $H$)-自由图成立，其中 $H$ 是长度不超过 $5$ 的圈或爪。本文中，我们证明连通 ($P_5,H$)-自由图的警察数至多为 $2$，其中 $H\in \{C_4$, $C_5$, diamond, paw, $K_4$, $2K_1\cup K_2$, $K_3\cup K_1$, $P_3\cup P_1\}$。