3x3 车图是懒警察数最小的唯一图

在追逃博弈“警察与强盗”的普通版本中，一组警察和一个强盗占据图的顶点，并沿着图的边交替移动，且彼此拥有完全信息。如果一名警察落在强盗所在位置，则警察获胜；如果强盗能无限期地躲避警察，则强盗获胜。在变体“懒警察与强盗”中，警察在其回合只能选择队伍中的一名成员进行移动。抓住强盗所需的最少警察数（分别为普通警察和懒警察）称为 $G$ 的“警察数”（分别为“懒警察数”），记为 $c(G)$（分别为 $c_L(G)$）。Beveridge 等人先前的工作已证明 Petersen 图是十个顶点中唯一满足 $c(G)=3$ 的图，且所有九个或更少顶点的图均满足 $c(G)\leq 2$。（这是对 Baird 和 Bonato 通过计算搜索发现的结果的自洽数学证明。）在本文中，我们针对懒警察证明了类似的结果，即 3x3 车图（$K_3\square K_3$）是九个顶点中唯一需要三名懒警察的图，而八个或更少顶点的图最多只需要两名懒警察。