图上警察与强盗游戏的若干变体

我们证明了关于图上警察与强盗游戏若干变体的新理论结果。首先，我们考虑一种更具对称性的警察与强盗游戏变体，称为警察与杀手游戏。我们证明对所有 $c < 1$，几乎所有随机图在警察与杀手游戏中均为僵局，其中每条边以概率 $p$ 出现且满足 $\frac{1}{n^{c}} \le p \le 1-\frac{1}{n^{c}}$。我们证明一个图可以是杀手胜当且仅当它恰有 $k\ge 3$ 个三角形或根本没有三角形。我们证明具有多个长于三角形的圈的图允许警察胜和杀手胜的图。对 $\left(m,n\right)\neq\left(1,5\right)$ 且 $n\geq4$，我们证明存在带有 $m$ 个 $C_n$ 的警察胜和杀手胜图。此外，我们确定了特定图积上的游戏结果。接下来，我们找到了 Dijkstra 算法的一个广义版本，可应用于求警察与赌徒游戏及其他图追捕变体的最小期望捕获时间和最小逃避概率。最后，我们考虑一种类似于赌徒的随机化杀手。我们利用 Dijkstra 算法的推广来求追捕随机杀手的最优策略。我们证明若 $G$ 是最大度为 $d$ 的连通图，则警察在得知杀手分布后以至少 $\frac{\sqrt d}{1+\sqrt d}$ 的概率获胜。此外，我们证明该界仅在 $\left(d+1\right)$ 个顶点的星图上紧，其中杀手以概率 $\frac1{1+\sqrt d}$ 占据中心，其余各顶点以相等概率占据。