边周期性图上的一类警匪博弈

本文考虑一类博弈：一名警察与一名强盗轮流沿着给定图 $G$ 的边移动。若存在一种警察策略能使其最终与强盗处于同一顶点，则称 $G$ 为警察胜图，否则为强盗胜图。我们在一个新颖的背景下研究这一经典组合博弈，将潜在博弈场所的类拓宽至边周期性图。这类图具有由离散时间步组成的无限生命周期，其中每条边 $e$ 被分配一个长度为 $l_e$ 的位模式，模式中第 $i$ 位为 1 表示在每连续 $l_e$ 步组成的块的第 $i$ 步中存在边 $e$。利用已有的可达性博弈框架，我们扩展现有技术，获得若干结果，其中包括：判定给定的 $n$ 顶点边周期性图 $G^\tau$ 为警察胜或强盗胜并计算胜方策略所需时间的 $O(\textsf{LCM}(L)\cdot n^3)$ 上界（此处 $L$ 为所有边模式长度 $l_e$ 的集合，$\textsf{LCM}(L)$ 表示集合 $L$ 的最小公倍数）。此外，我们将注意力转向边周期性环图，证明了任意边周期性环图确保其为强盗胜所需长度的上界为 $2\cdot l \cdot \textsf{LCM}(L)$，其中当 $\textsf{LCM}(L) \geq 2\cdot \max L$ 时 $l = 1$，否则 $l=2$。进一步地，我们给出警察胜边周期性环图的下界构造：在 $l=1$ 情形下长度为 $1.5 \cdot \textsf{LCM}(L)$，在 $l=2$ 情形下长度为 $3\cdot \textsf{LCM}(L)$。