区间图、弦图与平面图上具有快速强盗的警察与强盗博弈

我们考虑了由 Fomin, Golovach, Kratochvil 提出的一种警察与强盗博弈的变体，其中强盗具有无界速度，即在她的回合中可以走从其顶点出发的任意路径，但不允许穿过被警察占据的顶点。我们在区间图、弦图、平面图和超立方体图上研究了这种博弈。设 c_{\infty}(G) 表示在该变体中于图 G 中抓住强盗所需的警察数量。我们证明，如果 G 是区间图，则 c_{\infty}(G) = O(sqrt(|V(G)|))，并且我们给出了一个在区间图中寻找 c_{\infty}(G) 的多项式时间 3-近似算法。我们证明，对于每个 n，存在一个具有 c_{\infty}(G) = Omega(n / \log n) 的 n 顶点弦图 G。设 tw(G) 和 Delta(G) 分别表示 G 的树宽和最大度。我们证明，对于每个 G，tw(G) + 1 \leq (Delta(G) + 1) c_{\infty}(G)。利用这个关于 c_{\infty}(G) 的下界，我们证明了两件事。第一，如果 G 是平面图（或更一般地，如果 G 不包含固定的顶点图作为子式），则 c_{\infty}(G) = Theta(tw(G))。这直接导出了计算平面图 c_{\infty} 的 O(1)-近似算法。第二，如果 G 是 m-超立方体图，则存在常数 eta1, eta2>0 使得 (eta1) 2^m / (m sqrt(m)) \leq c_{\infty}(G) \leq (eta2) 2^m / m。