几何与平面图上的定位游戏

本文的主题源于蜂窝网络中的定位问题。给定图$G$，我们希望通过检查行走智能体到尽可能少的顶点的距离来定位它。我们引入的模型基于一种追捕图游戏，类似于著名的警察与强盗游戏。它可以被视为图的度量维数（metric dimension）的一种博弈论变体。我们针对几类图（树、二部图等）给出了相关图不变量$\zeta (G)$的上界，该不变量定义为在图$G$上定位强盗所需的最少警察数量。我们的主要结果是，令人惊讶地，存在树宽（treewidth）为$2$且$\zeta (G)$无界的平面图。从积极的一面，我们证明了$\zeta (G)$由$G$的路径宽（pathwidth）所界定。然后我们表明，确定$\zeta (G)$的算法问题在直径至多为$2$的图中是NP困难的。最后，我们展示了在欧几里得平面中至多一名警察可以（任意接近地）近似强盗的位置。