笛卡尔积上的定位博弈

定位博弈由两名玩家进行：一名带 $k$ 名警察的警察，以及一名强盗。游戏初始化时，强盗选择一个顶点 $r \in V$，警察未知。此后，游戏按回合进行。每回合开始时，警察探测 $k$ 个顶点，并得到一个距离向量作为回报。若警察能从该向量确定 $r$ 的精确位置，则强盗被定位且警察获胜。否则，强盗可停留在 $r$，或移动到 $r$ 的邻域中的 $r'$。警察随后再次探测 $k$ 个顶点。游戏以此方式继续，若警察能在有限回合内定位强盗则获胜。定位数 $\zeta(G)$ 定义为无论强盗如何行动，警察都有获胜策略的最小正整数 $k$。本文关注在笛卡尔积上进行的博弈。我们证明 $\zeta( G \square H) \geq \max\{\zeta(G), \zeta(H)\}$ 以及 $\zeta(G \square H) \leq \zeta(G) + \psi(H) - 1$，其中 $\psi(H)$ 是 $H$ 的一个双分辨集。我们还证明 $\zeta(C_m \square C_n)$ 大多等于 2。