$k$-远视警察与强盗

本文引入了远视警察与强盗游戏的一种推广，类似于$k$-可见性警察与强盗游戏。对于正整数$k$，$k$-远视警察与强盗游戏的定义与通常的警察与强盗游戏类似，但强盗是全知的，并且对于距离强盗不超过$k$的警察是不可见的。如果经过有限轮后，一名警察与强盗占据同一顶点，则警察获胜。否则，强盗获胜。在图$G$上赢得游戏所需的最少警察数量称为$G$的$k$-远视警察数$c_{H,k}(G)$。除了新不变量的基本性质外，我们还刻画了警察赢图，并给出了一个关于图匹配数的通用上界。该不变量也在树上进行了研究，其上界主要取决于$k$与树直径之间的关系。我们还证明了外平面图的2-远视警察数至多为2，并针对$k \geq 3$给出了一个关于图顶点数的上界。