警察与强盗游戏的粗几何

我们引入图上警察与强盗游戏的两个变体。这些游戏对任意连通图 $\Gamma$ 给出 $\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}$ 中的两个不变量：弱警察数 $\mathsf{wcop}(\Gamma)$ 与强警察数 $\mathsf{scop}(\Gamma)$。这些不变量满足 $\mathsf{scop}(\Gamma)\leq\mathsf{wcop}(\Gamma)$。任何有限图或树都具有强警察数一。这些新不变量在图的微小局部扰动下保持不变，具体而言，弱警察数与强警察数均为连通图的拟等距不变量。更一般地，我们证明若 $\Delta$ 是 $\Gamma$ 的拟收缩核，则 $\mathsf{wcop}(\Delta)\leq\mathsf{wcop}(\Gamma)$ 且 $\mathsf{scop}(\Delta)\leq\mathsf{scop}(\Gamma)$。我们给出具有任意弱警察数（相应地，强警察数）的图族示例。我们证明双曲图的强警察数为一。我们还证明一端非顺从局部有限顶点传递图具有无穷弱警察数。我们提出如下问题：是否存在弱警察数（相应地，强警察数）有限且不等于一的连通顶点传递图。