带循环约束的警察与进攻小偷

本文考虑警察与进攻小偷游戏，这是警察与小偷游戏的一个变体，其中小偷被赋予了类似于警察捕获小偷的方式来攻击警察。在图$G$中，捕获图中小偷所需的警察数量称为$\attCop(G)$。我们通过Nowakowski和Winkler\cite{nowakowski1983vertex}提出的自然警察必胜特征的广义来刻画循环图$G$中$\attCop(G) \leq 2$的条件。我们还证明所有二分平面图$G$都有$\attCop(G) \leq 4$，并通过构造一个$\attCop(G) = 4$的二分平面图来显示这一点是紧密的。最后我们构造了$17$个非同构的阶为$58$的图$H$，使得$\attCop(H) = 6$且$\cop(H)=3$。这提供了第一个$\attCop(H) - \cop(H) \geq 3$的图的例子，延续了Bonato等人的工作\cite{bonato2014robber}。我们以一系列猜想和开放问题收尾。