Cops与Robbers游戏、Clique覆盖与诱导环

我们考虑在有限简单图上进行的Cops与Robbers游戏。在图 $G$ 中，捕获robber所需的警察数量记为 $c(G)$。对于所有图 $G$，都有 $c(G) \leq \alpha(G) \leq \theta(G)$，其中 $\alpha(G)$ 和 $\theta(G)$ 分别为独立数和clique覆盖数。在2022年，Turcotte 询问是否存在图 $G$ 使得 $c(G) < \alpha(G)$ 当 $\alpha(G) \geq 3$ 时。最近，Char、Maniya 和 Pradhan 通过证明Shrikhande图的补图的警察数和独立数均为3来证明这一命题不成立。我们使用随机图证明更强的结论：对于所有 $k\geq 1$，存在图 $G$ 使得 $c(G) = \alpha(G) = \theta(G) = k$。接下来，我们考虑满足 $c(G) = \theta(G) \geq 3$ 的图的结构。我们通过结构性论证证明，任何满足 $c(G) = \theta(G) = k \geq 3$ 的图 $G$ 包含长度为 $3\leq t \leq k+1$ 的诱导环。这意味着所有独立数大于等于4的完美图 $G$ 都有 $c(G) < \alpha(G)$。此外，我们讨论了典型的无三角形和 $C_4$-free 图是否具有 $c(G) < \alpha(G)$。