图中的追逃博弈：僵尸、懒惰僵尸与幸存者

我们研究僵尸与幸存者，这是图上警察与强盗博弈的一个变体。在该变体中，单个幸存者扮演强盗的角色，试图逃离扮演警察角色的僵尸。僵尸在其回合受到限制，必须始终沿朝向幸存者的最短路径的一条边移动。令 $z(G)$ 为在具有 $n$ 个顶点的图 $G$ 上抓住幸存者所需的最少僵尸数。我们证明存在外平面图与简单多边形的可见图使得 $z(G) = \Theta(n)$。我们还证明存在最大度数为 $3$ 的外平面图使得 $z(G) = \Omega\left(n/\log(n)\right)$。令 $z_L(G)$ 为在图 $G$ 上抓住幸存者所需的最少懒惰僵尸（可在其回合静止不动的僵尸）数。我们确立懒惰僵尸比普通僵尸更强，但弱于警察。我们证明对于连通外平面图有 $z_L(G) = 2$。我们证明对于树深为 $k$ 的连通图有 $z_L(G)\leq k$。该结果意味着对于树宽为 $k$ 的连通图 $z_L(G)$ 至多为 $(k+1)\log n$，对于连通平面图至多为 $O(\sqrt{n})$，对于亏格为 $g$ 的连通图至多为 $O(\sqrt{gn})$，对于排除任意 $h$ 顶点次要子式的连通图至多为 $O(h\sqrt{hn})$。我们关于懒惰僵尸的结果在由对手选择僵尸初始位置时仍然成立。