在环面网格上抓住幸存者需要多少个僵尸？

在僵尸与幸存者游戏中，一群僵尸试图吃掉在给定图上游荡的孤身幸存者。僵尸随机选择其初始位置，并在游戏过程中直接向幸存者移动。在每一轮中，它们移动到与幸存者距离最小的相邻顶点；如果有不止一个这样的顶点，它们会均匀随机地选择一个。幸存者试图通过移动到相邻顶点或停留在当前顶点来逃离僵尸。如果最终其中一个僵尸落在幸存者的顶点上将其吃掉，则僵尸获胜；否则，幸存者获胜。图的僵尸数是指进行游戏所需的最少僵尸数量，使得它们获胜的概率至少为 1/2。该游戏变体最近在几个图族上进行了研究，如环、超立方体、射影平面的关联图以及网格 $P_n \square P_n$。然而，遗憾的是，对于环面网格 $C_n \square C_n$ 仍然知之甚少：$C_n \square C_n$ 的僵尸数至少为 $\sqrt n/(\omega\log n)$，其中 $\omega = \omega(n)$ 是当 $n \to \infty$ 时趋于无穷的任意函数，并且除了一个平凡的界 $O(n^2 \log n)$ 之外，没有已知的上界。在本文中，我们提供了一种方法，给出了一个令人尴尬的 $O(n^2)$ 界，但有可能（通过更仔细的确定性论证）它实际上可能会给出 $O(n^{3/2})$ 的界。另一方面，通过分析幸存者的特定策略，似乎可以将下界略微提高到 $\sqrt n/\omega$。无论如何，我们离理解这个引人入胜的问题还很远。我们需要您的帮助！