连通图上对抗者的节流数

在本文中，我们回答了 [Breen 等人, Throttling for the game of Cops and Robbers on graphs, Discrete Math., 341 (2018) 2418-2430] 中的两个公开问题。图 $G$ 的节流数 $th_c(G)$ 为对所有正整数 $k$ 取 $k + capt_k(G)$ 的最小可能值，其中 $capt_k(G)$ 为 $k$ 个警察在 $G$ 上捕获强盗所需的回合数。 [Breen 等人, 2018] 中的问题之一是确定是否存在一类阶为 $n$ 的树 $T$ 使得 $th_c(T)$ 渐近等于 $2 \sqrt{n}$。我们通过将阶为 $n$ 的所有树 $T$ 的 $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ 的上界从 $2 \sqrt{n}$ 改进为 $\frac{\sqrt{14}}{2} \sqrt{n} + O(1)$，证明了这样的族不可能存在。我们通过推导出一个适用于多个图对抗者（包括强盗和赌徒）的更一般的连通图节流界来证明该界。这也改进了弦图与单圈图 $G$ 上 $th_c(G)$ 以及树上正半定（PSD）零迫使节流数的已知最佳上界。除关于警察对强盗的结果外，我们利用一般节流界改进了先前关于连通图上警察对赌徒游戏的节流数上界。 [Breen 等人, 2018] 的另一个公开问题是给出仙人掌图 $G$ 的 $th_c(G)$ 的界。我们证明了所有阶为 $n$ 的仙人掌图 $G$ 的一个 $O(\sqrt{n})$ 界。此外，我们给出了一类阶为 $n$ 的树 $T$，对所有充分大的 $n$ 有 $th_c(T) > 1.4502 \sqrt{n}$，改进了先前关于阶为 $n$ 的树 $T$ 的 $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ 的下界 $\lceil \sqrt{2n}-\frac{1}{2} \rceil + 1$。