图的警察节流数的次线性上界

我们给出连通图的警察节流数的一个次线性上界。与图搜索游戏警察与强盗相关，警察节流数记为 $\mathrm{th}_c(G)$，由 $\mathrm{th}_c(G)=\min_k\{k+\mathrm{capt}_k(G)\}$ 给出，其中 $\mathrm{capt}_k(G)$ 是 $k$-捕获时间，即图 $G$ 上 $k$ 个警察的警察与强盗游戏的长度，假设双方均最优策略。此前对连通图的警察节流数没有一般的次线性上界。针对 Breen 等人提出的一个问题，我们证明 $\mathrm{th}_c(G)\leq \frac{(2+o(1))n\sqrt{W(\log(n))}}{\sqrt{\log(n)}}$，其中 $W=W(x)$ 是 Lambert W 函数。