图的损伤节流数

图的差人节流数（cop throttling number）由 Breen 等人于 2018 年引入，优化了在警匪游戏中用于抓捕劫匪的警察数量与所需轮数之间的平衡。2019 年，Cox 和 Sanaei 研究了一种警匪游戏变体，其中劫匪试图占据（或破坏）尽可能多的顶点，而警察试图最小化此破坏。在他们的论文中，他们研究了给定图 $G$ 上所有游戏中劫匪破坏的最小顶点数，称为 $G$ 的损伤数（damage number）。我们引入一个自然参数，称为图的损伤节流数，记为 $\operatorname{th}_d(G)$，它优化了所用警察数量与图中被破坏顶点数之间的平衡。为此，我们形式化了 $k$-损伤数的定义，将损伤数推广到使用 $k$ 个警察进行的游戏。我们表明损伤节流与差人节流有许多共同性质，但也呈现出有趣差异。我们证明损伤节流数被紧上界为差人节流数减一。给出了该界中紧性的无穷族例子与非例子。我们还找到了一类阶为 $n$ 的连通图 $G$ 的无穷族，满足 $\operatorname{th}_d(G) = \Omega(n^{2/3})$。