正方形、六边形和三角形网格上的灭火问题
组合数学
2014-06-20 v2
摘要
在本文中，我们考虑有限或无限图 上的\emph{消防员问题}。假设火灾在给定的顶点 爆发。在随后的每个时间单位中，消防员保护一个尚未着火的顶点，然后火势蔓延到着火顶点的所有未受保护的邻居。消防员的目标是拯救尽可能多的顶点（如果 是有限的）或阻止火势蔓延（对于无限情况）。有限图 的幸存率 定义为当火灾在 中随机均匀选择的顶点爆发时，可被拯救的顶点期望百分比。对于有限正方形网格 ，我们证明 （使间隙小于 0.014），并猜想幸存率渐近于 5/8。我们定义了无限图的幸存率，并证明对于无限正方形网格，即使在初始火灾数量有限的情况下，其值也为 1/4。对于无限六边形网格，如果在过程的任何时刻可以额外保护两个顶点，我们提供了一种获胜策略，并猜想如果没有额外帮助，消防员没有策略能阻止火势。我们还展示了如何将火势蔓延速度降低一个常数因子。
引用
@article{arxiv.1305.7076,
title = {Firefighting on square, hexagonal, and triangular grids},
author = {Tomas Gavenciak and Jan Kratochvil and Pawel Pralat},
journal= {arXiv preprint arXiv:1305.7076},
year = {2014}
}