稀疏图不可燃

本文考虑有限图 $G=(V,E)$ 上的以下 \emph{$k$-消防员问题}。假设火灾在给定顶点 $v \in V$ 处爆发。在每个后续时间单位中，消防员保护 $k$ 个尚未着火的顶点，然后火势蔓延到所有未受保护的着火顶点的邻居。消防员的目标是尽可能多地拯救顶点。图 $G$ 的存活率 $\rho(G)$ 定义为当火灾在 $G$ 的随机顶点爆发时能够被拯救的顶点的期望百分比。令 $\tau_k = k+2-\frac {1}{k+2}$。我们证明，对于任意 $\epsilon >0$ 和 $k \ge 2$，每个边数不超过 $(\tau_k-\epsilon)n$ 的 $n$ 顶点图 $G$ 是不可燃的；即 $\rho(G) > \frac {2\epsilon}{5\tau_k} > 0$。此外，我们提出了一族可燃随机图的构造，以表明常数 $\tau_k$ 无法改进。