六边形网格与无限树上的消防问题

在无限图 $G$ 上配备 $k$ 名消防员的消防问题是一个迭代图过程，定义如下：假设在第 1 回合，火在给定顶点 $v\in V(G)$ 处燃起。在之后每个偶数回合，$k$ 名消防员保护 $k$ 个未着火的顶点；在之后每个奇数回合，任何着火的顶点将火蔓延至所有相邻的未受保护顶点。消防员的目的是最终阻止火势蔓延。如果存在一种 $k$ 名消防员的策略能最终阻止火势蔓延，则称 $G$ 是 $k$-可控制的。我们考虑六边形网格上的消防问题，该图的顶点与边恰好为一个平面的正则六边形密铺的顶点与边。目前尚不知六边形网格是否为 $1$-可控制的。在 arXiv:1305.7076 [math.CO] 中，已证明若消防员每回合有一名消防员且在其两个回合各多一名消防员，则消防员可控制火势。我们改进了该结果，证明即便仅在一个回合多一名消防员，消防员仍可控火。此外，我们探讨了出生序列树的 $k$-可控制性，出生序列树是指同一层上每个顶点度数均相同的无限有根树。出生序列森林是一个无限森林，其每个连通分支均为出生序列树。对于出生序列树与森林，火总是在每棵树的根处燃起。我们给出了一个伪多项式时间算法，以判定在固定层上的所有顶点是否可被保护。