基于距离限制的山火博弈

在经典版本的山火博弈中，第一回合火在图 $G$ 的某个顶点燃起，随后 $k$ 名消防员保护 $k$ 个顶点。在之后每个回合，火蔓延至所有燃烧顶点未燃尽的邻域并集，消防员再次保护 $k$ 个顶点。一旦某顶点被烧或受保护，其在游戏剩余过程中保持该状态。针对某些无限图 $G$ 的一个常见目标是确定需要多少消防员才能在有限回合后阻止火势蔓延，通常称为控制火势。我们引入距离限制山火的概念，其中消防员移动受限，每回合只能移动至多固定距离 $d$，而非不受限制地移动。我们建立了这一新博弈相对于原博弈性质的一些一般性质，并研究了距离限制博弈在无限方格网、强网格与六边形网格上的具体情形。我们猜想当 $d = 2$ 时方格网上两名消防员不足，并提出关于当 $d = 1$ 时一般需要多少消防员的一些问题。