平面图中的火灾遏制

在图 $G$ 中，火灾从某个顶点开始。在每个时间步，消防员可以保护最多 $k$ 个顶点，然后火灾蔓延到所有未受保护的邻居。$G$ 的 $k$-幸存率 $\rho_k(G)$ 是如果火灾起始顶点均匀随机选择，则可以从火灾中拯救的顶点比例的期望值。对于给定的图类 $\cG$，我们感兴趣的是最小值 $k$，使得对于某个常数 $\epsilon>0$ 和所有 $G\in\cG$，有 $\rho_k(G)\ge\epsilon$，即期望在 $\cG$ 中的每个图中线性数量的顶点能被拯救。在本文中，我们证明对于平面图，这个最小值至多为 4，并且对于无三角形平面图，它恰好是 2。