平面图着火问题

设 $G$ 为任意 $n$ 个顶点的连通图，$n \ge 2$。设 $k$ 为任意正整数。假设火灾在 $G$ 的某个顶点爆发。在每一轮中，$k$ 名消防员可以保护 $G$ 的顶点——每人可保护一个尚未着火的顶点；随后火灾蔓延至所有未受保护的邻居。$G$ 的\emph{$k$-幸存}率（记为 $\rho_k(G)$）是指当起始顶点均匀随机选择时，$k$ 名消防员能从火灾中救出的顶点期望比例。本文证明，对于任意平面图 $G$，有 $\rho_3(G) \ge \frac{2}{21}$。此外，仅需在第一轮投入 3 名消防员；此后每轮只需 2 名消防员即可。该结果显著改进了 Cai 和 Wang 所提问题的已知解（此前对于仅配备 3 名消防员的一般平面图，其幸存率尚无正下界）。证明过程利用了平面图的分离定理。