关于 Hartnell 消防员问题与群增长关系的一个注记

局部有限连通图上的消防员博弈问题由 Bert Hartnell 提出。图 $G$ 上的博弈可描述如下：设 $f_n$ 为一正整数序列；初始火灾始于一个有限顶点集；在每个（整数）时刻 $n\geq 1$，$f_n$ 个未着火的顶点受到保护，然后火灾蔓延至所有着火顶点的未受保护邻居；一旦一个顶点受到保护或着火，其状态在所有后续时间间隔内保持不变。如果对于任何初始火灾，都存在一种策略能在时刻 $n$ 保护 $f_n$ 个顶点，使得着火顶点集最终保持不变，则称图 $G$ 具有 \emph{$f_n$-遏制性质}。如果图 $G$ 对形如 $f_n=Cn^d$ 的序列具有遏制性质，则称该图具有 \emph{多项式遏制}。文献[5]证明，任何具有多项式增长的局部有限图都具有多项式遏制；并指出其逆命题不成立。该文还提出了多项式增长与多项式遏制的等价性是否对有限生成群的凯莱图成立的问题。在这篇短注记中，我们基于文献中的结果，说明该等价性对初等顺从群和非顺从群如何成立。