多项式增长群与中间增长群上的消防员问题

我们证明了任何次数为 $d$ 多项式增长的 Cayley 图 $G$ 都不满足任意 $f=o(n^{d-2})$ 的 $\{f(n)\}$- containment。这确定了此类图上消防员问题的渐近行为，因为已知 $Cn^{d-2}$ 个消防员已足够，从而回答并加强了 Develin 和 Hartke 的一个猜想。我们还证明了中间增长 Cayley 图不满足多项式 containment，并给出了依赖于群增长率的显式下界。当可获得更多几何信息时，例如 Grigorchuk 群，这些界可进一步改进。