防火性质的粗几何与群分裂

给定一个非递减函数 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，我们在（无限）连通图上定义一种我们称为防火的单人游戏。如果一个图 $G$ 对任意初始配置（初始火情）都存在获胜策略，那么我们称 $G$ 具有 $f$-防火性质；在此情形下，若 $f$ 是次数为 $d$ 的多项式，则称 $G$ 具有次数为 $d$ 的多项式防火性质。我们证明，在一致局部有限连通图类中，具有次数为 $d$ 的多项式防火性质是拟等距不变量。因此，防火性质定义了有限生成群的一个拟等距不变量。我们证明，若一个有限生成群 $G$ 在次数为 $d$ 的多项式增长的拟等距嵌入子群上分裂，则 $G$ 具有次数为 $d-1$ 的多项式防火性质。我们讨论了与有限生成群拟等距不变量其他工作的一些联系，并提出了一些问题。