无限图上Hartnell消防员问题的粗几何

在本文中，我们通过群论的增长和拟等距概念研究Hartnell消防员问题。如果一个图对于每个有限的初始火灾，都存在一种策略，通过在每回合保护n个顶点来遏制火灾，则该图具有n-遏制性质。如果存在一个整数n使得图具有n-遏制性质，则该图具有常数遏制性质。我们的第一个结果是，任何具有二次增长的局部有限连通图都具有常数遏制性质；其逆命题不成立。这一结果提供了一种统一的方法来恢复文献中的先前结果，特别是满足常数遏制性质的图类是无限的。第二个结果是，在有界度图类中，具有常数遏制性质在拟等距下保持不变。第二个结果的一些示例推论是：欧几里得平面的任何规则镶嵌都具有火灾遏制性质；如果n>2，则n维欧几里得空间的任何规则镶嵌都不具有遏制性质；如果n≥2，则n维双曲空间的任何规则镶嵌都不具有遏制性质。我们为{f_n}-遏制性质证明了类似的结果，其中f_n是一个整数序列，对应于在时间n保护的顶点数。特别地，我们通过证明d维方形网格$\mathbb{L}^d$对于任何常数c都不满足$cn^{d-3}$-遏制性质，正面回答了Develin和Hartke的一个猜想。