树上的消防博弈
数据结构与算法
2019-02-07 v1 计算复杂性
摘要
消防博弈（Firefighter problem）由 Hartnell 于 1995 年提出，火在图中蔓延，而玩家选择保护哪些顶点以遏制火势。在本文中，我们关注树的情形，并考虑分数消防博弈（Fractional Firefighter game），其中分配给一个顶点的保护量介于 0 和 1 之间。虽然该领域大多数工作处理每轮可用消防队员数量恒定的情况，我们考虑当将消防队员序列作为实例一部分时出现的三个研究问题。我们首先引入消防博弈和分数消防博弈的在线版本，其中每轮可用的消防队员数量随时间揭示。我们证明了有限树上的贪心算法对两个在线版本均为 1/2-竞争比，这推广了先前针对消防博弈特殊情形已知的结果。我们还证明了在线消防博弈的最优竞争比介于 1/2 与黄金分割比的倒数之间。接下来，给定两个消防队员序列，我们讨论存在一棵无限树将它们分离的充要条件，其意义为用其中一个序列可遏制火而用另一个则不可。为此，我们研究了一个称为目标博弈（targeting game）的新纯数值博弈。最后，我们给出了火被遏制的充分条件，表达为消防队员数量与树层级大小的渐近比较。
引用
@article{arxiv.1902.02159,
title = {Firefighting on Trees},
author = {Pierre Coupechoux and Marc Demange and David Ellison and Bertrand Jouve},
journal= {arXiv preprint arXiv:1902.02159},
year = {2019}
}