革命者与间谍：对间谍有利和不利的图

我们研究图$G$上由$r$个{\it 革命者}和$s$个{\it 间谍}进行的游戏。初始时，革命者和间谍依次占据顶点。在随后的每一轮中，每个革命者可以移动到相邻顶点或不移动，然后每个间谍也有同样的选择。如果$m$个革命者在某个没有间谍的顶点相遇（在一轮结束时），则革命者获胜；如果间谍能永远避免这种情况，则间谍获胜。令$\sigma(G,m,r)$表示获胜所需的最少间谍数量。为避免退化情形，假设$|V(G)|\ge r-m+1\ge\floor{r/m}\ge 1$。此时的简单界限为$\floor{r/m}\le \sigma(G,m,r)\le r-m+1$。我们证明了当$G$拥有一个根生成树$T$，使得$G$中不在$T$中的每条边都连接$T$中具有相同父节点的两个顶点时，下界是紧的。由此可得，$\sigma(G,m,r)\le\gamma(G)\floor{r/m}$，其中$\gamma(G)$是支配数；当$\gamma(G)\le m$时，该界限几乎是紧的。对于边概率$p$为常数的随机图，我们获得了常数$c$和$c'$（取决于$m$和$p$），使得当$r<c\ln n$时，$\sigma(G,m,r)$接近平凡上界，而当$r>c'\ln n$时，其至多为平凡下界的$c'$倍。对于$d\ge r$的超立方体$Q_d$，当$m=2$时有$\sigma(G,m,r)=r-m+1$，而当$m\ge 3$时至少需要$r-39m$个间谍。对于各部集大小至少为$2r$的完全$k$部图，当$k\ge m$时，$\sigma(G,m,r)$的主项约为$\frac{k}{k-1}\frac{r}{m}$。对于$k=2$，有$\sigma(G,2,r)=\bigl\lceil{\frac{\floor{7r/2}-3}5}\bigr\rceil$且$\sigma(G,3,r)=\floor{r/2}$，一般而言，$\frac{3r}{2m}-3\le \sigma(G,m,r)\le\frac{(1+1/\sqrt3)r}{m}$。