质心定位博弈

网络中的一个重要问题是通过放置在战略位置的测距探测器来定位一个（不可见的）移动实体。例如，图 $G$ 的度量维数是放置在若干顶点 $\{v_1,\cdots,v_k\}$ 上的探测器的最小数量 $k$，使得探测器与实体位置 $r$ 之间的距离 $d(v_i,r)$ 所构成的向量 $(d_1,\cdots,d_k)$ 能够唯一确定 $r \in V(G)$。在更现实的设定中，给定放置在 $\{v_1,\cdots,v_k\}$ 的设备，我们仅获得实体位置 $r$ 与设备间的相对距离（对每对 $1\leq i,j\leq k$，提供 $d(v_i,r)$ 与 $d(v_j,r)$ 的 $>$、$<$ 或 $=$ 关系）。图 $G$ 的质心维数是此设定下定位该实体所需的最少设备数。我们考虑后一问题的自然推广：顶点可被依次探测，直到移动实体被定位。每一轮探测一个顶点集合 $\{v_1,\cdots,v_k\}$，然后给出各顶点 $v_i$ 与实体当前位置 $r$ 的相对距离。若未被定位，移动实体可沿一条边移动。令 $\zeta^* (G)$ 为无论实体如何行动最终都能在图 $G$ 中定位它的最小 $k$。我们证明对每棵树 $T$ 有 $\zeta^* (T)\leq 2$，并给出图 $G$ 与 $H$ 的笛卡尔积 $G\square H$ 上 $\zeta^*(G\square H)$ 的上界。主要结果是任意外平面图 $G$ 有 $\zeta^* (G)\leq 3$。接着我们证明 $\zeta^* (G)$ 以 $G$ 的路径宽加1为上界，且确定 $\zeta^* (G)$ 的优化问题在一般图中是NP难的。最后，我们展示在欧几里得平面中近似（至任意常数距离）实体位置每轮至多需要两个顶点。