利用图的直径和度量维数界定图的阶：通过树分解和 VC 维数的研究

图的度量维数是使得每个顶点都能由到该集合顶点的距离唯一确定的最小顶点集的大小。我们的目标是用图的直径 $d$ 和度量维数 $k$ 来上界图的阶 $n$。一般已知有界 $n\leq d^k+k$ 成立。我们证明了对于树和外平面图，存在形式为 $n=\mathcal{O}(kd^2)$ 的界（对于树，我们确定了最佳可能界及相应的极值例子）。更一般地，对于具有宽度为 $w$ 和长度为 $\ell$ 的树分解的图，我们得到形式为 $n=\mathcal{O}(kd^2(2\ell+1)^{3w+1})$ 的界。这特别意味着对于常树宽的图有 $n=\mathcal{O}(kd^{\mathcal{O}(1)})$，对于弦图有 $n=\mathcal{O}(f(k)d^2)$，其中 $f$ 是一个双重指数函数。利用距离-VC 维数（由 Bousquet 和 Thomassé 于 2014 年引入）的概念作为工具，我们证明了对于无 $K_t$ 子式的图有界 $n\leq (dk+1)^{t-1}+1$，对于秩宽至多为 $r$ 的图有界 $n\leq (dk+1)^{d(3\cdot 2^{r}+2)}+1$。