关于树状图中最大距离-$k$独立集的最少数目

图的顶点子集称为距离为$k+1$或更大的独立集。对于所有 $n,k\geq 1$，我们确定所有 $n$ 顶点树中包含的最大距离-$k$独立集的最少数目。其值为 $n$（当 $n\leq k+1$），或 $n - \bigg\lfloor \frac{n - (k \bmod 2)}{\lfloor k/2 \rfloor + 1} \bigg\rfloor + 1$（否则）。我们完全描述实现该下界的树的类，并确定固定 $k\geq 1$时此类 $n$ 顶点树的数量增长率。如果 $k$ 为奇数且 $(k+1)/2$ 不整除 $n-1$，则具有最小可能数目最大距离-$k$独立集的非同构 $n$ 顶点树数量随 $n$ 线性增长。否则，其上界为 unlabeled $k^2$ 顶点树的数量。