通过三角化界定外 $k$-平面图的 treewidth

treewidth 是衡量图的树状性质的结构参数。许多算法和组合结果都以 treewidth 为条件表达。在本文中，我们研究外 $k$-平面图的 treewidth，即所有顶点位于圆上、每条边被至多 $k$ 条其他边所跨越的图。Wood 和 Telle [New York J. Math., 2007] 证明了每个外 $k$-平面图的 treewidth 最多为 $3k + 11$，并使用所谓的平面分解；后来，Auer 等人 [Algorithmica, 2016] 证明了外 $1$-平面图的 treewidth 最多为 $3$，且该上界紧密。在本文中，我们将一般上界改进为 $1.5k + 2$，并给出 $k = 2$ 时的紧密上界为 $4$。我们也给出下界：我们证明对于每个偶数 $k$，存在 treewidth 为 $k+2$ 的外 $k$-平面图。我们的新上界立即给出更好的 cop 数上界，从而肯定地回答了 Durocher 等人 [GD 2023] 的开放问题。我们的 treewidth 上界依赖于一种新的简洁三角化方法，可产生每条三角化边与图边的交叉数较少。我们的方法也使我们能够获得外 $k$-平面图分离数为 $k + 2$ 的紧密上界，改进了 Chaplick 等人 [GD 2017] 的 $2k + 3$ 上界。我们也考虑外 min-$k$-平面图，这是外 $k$-平面图的推广，我们在此方面取得了较小的改进。