有界树宽的标号图的数量

我们专注于计算具有$n$个顶点且树宽至多$k$的标号图的数量（等价地，标号部分$k$-树的数量），记为$T_{n,k}$。迄今为止，仅研究了特例$T_{n,1}$和$T_{n,2}$。我们证明对于$k>1$和某个显式绝对常数$c>0$，有$$\left(c \cdot \frac{k\cdot 2^k \cdot n}{\log k} \right)^n \cdot 2^{-\frac{k(k+3)}{2}} \cdot k^{-2k-2}\ \leq\ T_{n,k}\ \leq\ \left(k \cdot 2^k \cdot n\right)^n \cdot 2^{-\frac{k(k+1)}{2}} \cdot k^{-k},$$ 上界是众所周知的标号$k$-树数量的直接推论，而下界由显式算法构造得到。由该构造可知，两个界也适用于路径宽和真路径宽至多$k$的图。