图边可被 k 条最短路径覆盖，其路径宽度存在多项式上界

Dumas、Foucaud、Perez 和 Todinca（2024）最近证明了：任何一条由 k 条最短路径覆盖其边集的图，路径宽度至多为 $O(3^k)$。本文改进了该图的路径宽度上界为多项式阶乘；具体证明了：任何一条由 k 条最短路径覆盖其边集的图，其路径宽度为 $O(k^4)$，从而回答了该论文中提出的疑问。此外，我们证明当 $k\leq 3$ 时，这类图的路径宽度至多为 $k$（且该上界为紧确的）。最后，我们指出，尽管存在边缘数目任意大的图，其顶点集可被 2 条等距树覆盖，但任何一条其边集可被 2 条等距树覆盖的图，其 treewidth 至多为 2。