线性秩宽至多为 k 的图的禁用顶点子式

线性秩宽是一个图宽度参数，它是秩宽的一种变体，通过将其树限制为毛毛虫树而得到。作为已知定理的推论，对于每个 $k$，存在一个有限的障碍集 $\mathcal{O}_k$，使得图 $G$ 的线性秩宽至多为 $k$ 当且仅当 $G$ 的任何顶点子式都不与 $\mathcal{O}_k$ 中的图同构。然而，对于 $k\ge 2$，尚未有人尝试界定 $\mathcal{O}_k$ 中图的数量。我们证明，对于每个 $k$，$\mathcal{O}_k$ 中至少存在 $2^{\Omega(3^k)}$ 个两两局部不等价的图，因此 $\mathcal{O}_k$ 中图的数量至少是双重指数的。为证明这一定理，有必要刻画 $\mathcal O_k$ 中两个图何时局部等价。若一个图的所有块都是完全图，则称其为块图。我们证明，如果两个不含度数至少为 $2$ 的单纯顶点的块图是局部等价的，那么它们同构。这不仅对我们的定理有用，也蕴含了 Bouchet 的一个定理 [Transforming trees by successive local complementations, J. Graph Theory 12 (1988), no. 2, 195-207]，该定理指出：如果两棵树局部等价，那么它们同构。