距离遗传图的线性 rank-width II：顶点子式障碍

在配套论文 [Linear rank-width of distance-hereditary graphs I. A polynomial-time algorithm, Algorithmica 78(1):342--377, 2017] 中，我们给出了距离遗传图的线性 rank-width 的一个刻画，并由此推导出一个多项式时间算法来计算它。在本文中，我们基于该刻画研究距离遗传图的结构性质。首先，我们证明对于固定的树 $T$，每个具有充分大线性 rank-width 的距离遗传图都包含一个与 $T$ 同构的顶点子式。我们将此性质推广到更大的图类，即其素导出子图具有有界线性 rank-width 的图类。这里，素图是指不包含 split 的图。我们猜想，对于每棵树 $T$，每个具有充分大线性 rank-width 的图都包含一个与 $T$ 同构的顶点子式。我们的结果表明，只需对素图证明该猜想即可。对于在取顶点子式下封闭的图类 $\Phi$，若 $G\notin \Phi$ 但其所有真顶点子式均属于 $\Phi$，则称图 $G$ 为 $\Phi$ 的顶点子式障碍。其次，对于每个 $k\ge 2$，我们提供了一个距离遗传图集合，该集合包含了线性 rank-width 至多为 $k$ 的图的所有距离遗传顶点子式障碍。此外，我们给出了一种更简单的方法来获取线性 rank-width 至多为 $1$ 的图的已知顶点子式障碍。