树宽对比团数。III. 具有禁用结构的图的树独立数

我们继续研究 $(\mathrm{tw},\omega)$-有界图类，即遗传图类，其中树宽之所以大仅因存在大团，目的是理解该性质在多大程度上对独立集及相关问题具有有用的算法含义。在本系列的前一篇论文 [Dallard, Milani\v{c}, 和 \v{S}torgel, 树宽对比团数。II. 树独立数] 中，我们引入了树独立数，一个与树分解相关的最小-最大图不变量。有界树独立数意味着 $(\mathrm{tw},\omega)$-有界性，以及在给定具有有界独立数的树分解作为输入图时，最大权独立集问题存在多项式时间算法。在本文中，我们考虑六种图包含关系，并对每种关系刻画图 $H$，使得关于该关系排除 $H$ 的任意图都容许具有有界独立数的树分解。导出子式关系尤其令人关注：我们表明，排除 $K_5$ 删一条边或 $4$-轮意味着存在每个袋为团外加至多 $3$ 个顶点的树分解，而排除完全二部图 $K_{2,q}$ 意味着存在独立数至多为 $2(q-1)$ 的树分解。我们的构造性证明使用了多种工具，包括 $\ell$-精炼树分解、SPQR 树和潜在极大团。它们意味着在无限族图类中独立集及相关问题的多项式时间算法；特别地，结果适用于 $1$-完美可定向图类，回答了 Beisegel、Chudnovsky、Gurvich、Milani\v{c} 和 Servatius 在 2019 年提出的一个问题。