关于图的 treewidth、tree-independence number 与 tree-chromatic number 之间的关系

我们研究了两种最近提出的图参数，这两种参数都衡量给定图的树分解的复杂性。回忆一下，图 $G$ 的 treewidth ${\rm tw}(G)$ 测量的是在每个树分解中袋中所需顶点数的最大值。类似地，tree-independence number ${\rm tree\textnormal{-}}\alpha(G)$ 和 tree-chromatic number ${\rm tree\textnormal{-}}\chi(G)$ 分别测量在每个树分解中所需的最大独立数和最大染色数。最近，Dallard、Milani\v{c} 和 \v{S}torgel (JCTB, 2024) 询问过是否存在对于所有图 $G$ 都成立的等式：${\rm tw}(G)+1 \leq {\rm tree\textnormal{-}}\alpha(G) \cdot {\rm tree\textnormal{-}}\chi(G)$。我们以一种强有力的形式给出了这个问题的否定答案：对于每一个函数 $f\colon {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$，都存在一个图 $G$，使得 ${\rm tw}(G) > {\rm tree\textnormal{-}}\alpha(G) \cdot f({\rm tree\textnormal{-}}\chi(G))$。另一方面，我们通过证明对于每一个图 $G$ 都有 ${\rm tw}(G)+1 \leq {\rm tree\textnormal{-}}\alpha(G)^2 \cdot {\rm tree\textnormal{-}}\chi(G)$ 来补足这一结果。