关于计算袋上带度量约束的树分解与路径分解

我们在此研究计算任意图 $G$ 的 tree-length 和 tree-breadth 的复杂性，它们分别是 $G$ 的树分解中袋的直径和半径的最佳可能上界。Path-length 和 path-breadth 类似地定义并针对路径分解进行研究。迄今为止，已知 tree-length 的计算是 NP-困难的。我们在此证明 tree-breadth、path-length 和 path-breadth 也是如此。此外，我们对计算 tree-breadth 的复杂性提供了更详细的分析。特别地，我们表明 tree-breadth 为 1 的图在某种意义上是计算 tree-breadth 问题的最难实例。我们给出了 tree-breadth 为 1 的图的新性质。然后我们利用这些性质来在多项式时间内识别所有 tree-breadth 为 1 且为平面图或二部图的图。在此过程中，我们将 tree-breadth 与 $k$-good 树分解（对于 $k=1$）的概念联系起来，该概念先前为解决路由问题而引入。作为上述联系的一个副产品，我们证明了判定是否存在 $k$-good 树分解是 NP-完全的（即使 $k=1$）。所有这些都回答了文献中的开放问题。