有界度数的图上的加权树深度问题为 NP 完全

无向图 $G$ 的树深度分解是指在顶点集合上的一个根为树 $F$，使得图 $G$ 中每条边 $uv\in E(G)$ 在 $F$ 中处于祖先-后代关系中。给定函数 $w\colon V(G)\rightarrow \mathbb{N}$，加权树深度是指从根到叶子的任意路径的最大权重，其中路径的权重为其顶点权重之和。已知即使在树上决定加权树深度也是 NP 完全的。我们证明在有界度数的图上，加权树深度问题同样为 NP 完全。另一方面，我们证明该问题在路径和 1-子划分的星形上可以高效求解。