最大局部边连通性为 k 的图的 k-可选性 Brooks 定理

对于至少有两个顶点的图 G，最大局部边连通性是指在 G 中所有不同顶点对 (u,v) 之间最多有多少条互不相交的 (u,v)-路径。Stiebitz 和 Toft（2018）证明了关于最大局部边连通性为 k 的图的 k-可选性 Brooks 定理，表明最大局部边连通性为 k 的图若且仅若其包含一个属于 \mathcal{H}_k 的块，则不为 k-可染色。\mathcal{H}_k 是由对 K_{k+1} 的副本进行 Haj\'os 合并而得的图族，若 k=3 时还包括奇轮。我们证明了具有最大局部边连通性 k 的 2-连通图是 k-可选的当且仅当其不属于 \mathcal{H}_k。另一方面，决定最大局部边连通性为 k 的图的 k-可选性（即可能不连通的图）是 \Pi_2-完备的。为证明前者，我们首先证明了若干关于度可选性 Characterization 的推广，这些结果可能独立地具有兴趣。